En los conceptos de mecánica que desarrollaremos, nos encontraremos con dos diferentes tipos
de magnitudes:
magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sòlosegmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al númeromagnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un númerosegmentos orientados, ovector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que loorigen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vectordirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y elsentido.
Las
número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un
hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar
mediante
real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen;
el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.
A las
real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en un punto del
espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta
tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado por
las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas:
sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que
actúan. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de
movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar
sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un
cierto orden.
Definición 1: Se llama
determinan se llama
determina la
extremo del vector, determina su
a sobre la recta r, de origen O y extremo P. En adelante los
En la figura 1 se representa el vector
vectores serán designados con letras mayúsculas o minúsculas en negrita.
Definición 2: Se denomina
vector a la longitud del segmento orientado
que lo define.módulo de unEl módulo de un vector es
número positivo
la letra sin negrita o como vector entre barras:
mód siempre un. Será representado mediantev = v = |v|. Definición 3: Dos vectores son
tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido.En figura 2 es
que se denominan
pueden deslizar a lo largo de una recta y desplazarse
paralelamente a sí mismos en el espacio. Son los que
nos interesan y cumplen con las tres propiedades
(reflexiva, simétrica y transitiva) que se exigen a toda definición de equivalencia entre elementos de un conjunto.
Componentes de un vector
Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo
general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo
en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas
del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como
referencia. De la misma forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente
mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema
de referencia lo denominamos
ejes x, y, z.
P
respectivamente el origen y el extremo del
vector Definición 4: Se denominan
componentes de un vector
z) a las proyecciones de
sea a los números
En general, pondremos
Estas componentes pueden ser números positivos o negativos (más adelante veremos que pueden
ser funciones de una o más variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre
las coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo,
a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las componentes del vector a.dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor
absoluto pero de signos contrarios.
Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de igualdad de vectores
se deduce que
coordenadas
significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia
se haya introducido en el espacio. Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo
transforma en una herramienta tan potente.
Dado que el vector es la diagonal del paralelepípedo de figura 3, cuyas aristas son a
módulo del vector dos vectores iguales tienen las mismas componentes en cualquier sistema de. Es más, los vectores y los resultados de las operaciones entre ellos tienen un1, a2 y a3, ela es 
Adición y sustracción de vectores
Para sumar dos vectores
lleva el vector
a y b se procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a seb; el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es elvector suma a + b.a respecto del sistema (O; x, y,a sobre los ejes, o1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) sona.sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O yiguales (llamados equipolentes por algunos autores) cuando
a = b. Esta definición corresponde a lovectores libres; o sea, vectores que 
Al mismo resultado se llega tomando
diagonal del paralelogramo construido sobre
en la figura 5.a y b con el mismo origen y definiendo la suma como laa y b, que pasa por el origen, tal como se muestra 
Dado que la suma de dos vectores
obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes:
De esta definición se deduce que la adición de vectores es
vector opuesto al vector v(v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y direcciónv pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato entonces que la
El
que
diferencia
lo tanto las componentes del vector diferencia
Geométricamente, para sumar algebraicamente varios vectores basta llevarlos sucesivamente de
manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente (figura 7).
manera que el origen de cada uno coincida con el extremo del precedente (figura 7).
Analíticamente, el vector suma es el que tiene por componentes las sumas de las componentes
respectivas:
La adición de vectores cumple las propiedades conmutativa y asociativa en forma similar a la
adición ordinaria entre números reales.Componentes del producto vectorial
Sean dos vectores expresados en forma canónica, mediante los versores
fundamental:
a =
Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial entre ellos, tendremos:
a
= (aEste producto se puede expresar entonces como el determinante de tercer orden:
Magnitudes escalares y vectoriales – Definiciones; propiedades y operaciones
